Tjutin nousi jo 17-vuotiaana Pietarin SKA:n kokoonpanoon kaudella 2000-2001 ja kauden päätteeksi New York Rangers varasi nuoren venäläisen toisella kierroksella.

Kaudeksi 2001-2002 Tjutin suuntasi meren yli OHL-liigan Guelph Storm-joukkueeseen, missä hän teki puolustajalle hurjat tehot 19+40=59 vain 50 ottelussa. Seuraava kausi kului taas Venäjällä, tällä kertaa alkukausi SKA:ssa ja loppukausi Kazanin Ak-Barsissa. Pelit jäivät kuitenkin vain kahteenkymmeneen lukuisten loukkaantumisten seurauksena.

Kesällä 2003 Rangers teki nuoren lupauksensa kanssa sopimuksen ja Tjutin matkusti jälleen Amerikkaan, nyt Rangersin farmijoukkue Wolf Packin riveihin. 43 ottelun jälkeen ja polvivammasta toivuttuaan Tjutin sai kutsun Manhattanille, missä hän pelasi koko loppukauden nousten lyhyessä ajassa Rangersin parhaaksi puolustajaksi.

Kausi 2004-2005 alkoi taas työsulun vuoksi Hartfordissa, mutta marraskuussa Tjutin päätti palata Venäjälle työsulun ajaksi. Työsulun jälkeen palasi kuitenkin New Yorkiin, jossa viihtyi lopulta kolme kautta.

Tjutin solmi nelivuotisen jatkosopimuksen Rangersin kanssa talvella 2008, mutta jo kesällä hänet kaupattiin Columbukseen osana neljän pelaajan kauppaa. Columbuksessa hän nousi nopeasti puolustuksen johtohahmoksi, ja kirjoitti kesällä 2011 seitsemänvuotisen jatkosopimuksen. Viidettä kauttaan Columbuksessa pelaava Tjutin on tehojen tasaisesta laskusta huolimatta joukkueen tärkeimpiä pelaajia.